David Ardianto Blog

1. Menemukan Pola Barisan dan Deret

Perhatikan barisan huruf berikut:
A B B C C C D D D D A B B C C C D D D D A B B C C C D D D D ...
Amatilah barisan huruf tersebut terlebih dahulu! Tentukanlah huruf pada urutan
25 × 33!
Penyelesaian
Pertama, kita perlihatkan urutan setiap huruf pada barisan, sebagai berikut:
A B B C C C D D D D A B B C C C D D D D ...
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ...
Jika kamu amati dengan teliti, kelompok huruf ABBCCCDDDD pada urutan
1 sampai 10 berulang. Perulangan kelompok huruf terjadi pada setiap kelipatan 10
huruf pertama. Jadi, huruf pada urutan 1 sama dengan huruf pada urutan 11, urutan
21, urutan 31, dan seterusnya.
Kedua, huruf pada urutan 25 × 33 adalah huruf pada urutan 32 × 27 = 864 atau
864 = 860 + 4 = 86 × 10 + 4 sehingga perulangan kelompok huruf tersebut mengalami
perulangan sebanyak 86 kali. Dengan demikian, huruf pada urutan ke-864 sama
dengan huruf pada urutan ke-4 atau C. Perhatikan tabel di bawah ini!
Tabel 6.3 Urutan barisan huruf
Urutan
ke
Huruf Urutan
ke
Huruf ... Urutan
ke
Huruf Urutan
ke
Huruf
1 A 11 A ... 851 A 861 A
2 B 12 B ... 852 B 862 B
3 B 13 B ... 853 B 863 B
4 C 14 C ... 854 C 864 C
5 C 15 C ... 855 C
6 C 16 C ... 856 C
7 D 17 D ... 857 D
8 D 18 D ... 858 D
9 D 19 D ... 859 D
10 D 20 D ... 860 D
182 Kelas X
Contoh 6.2
Sebuah barisan bilangan dituliskan sebagai berikut: 12345678910111213141516171
81920212223242526... sehingga suku ke-10 = 1, suku ke-11 = 0, suku ke-12 = 1 dan
seterusnya. Dapatkah anda temukan bilangan yang menempati suku ke-2004?
Penyelesaian
Mari kita amati kembali barisan tersebut, sebagai berikut:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1
1 2 3 4 5 6 7 8
... ?
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
u u u u u u u u u9 u10 u11 u12 u13 u14 u15 u16 u17 u18 ... u2004
un menyatakan suku ke-n pada barisan dengan n = 1, 2, 3, 4, ...
Kita akan mencari bilangan yang menempati suku ke-2004 dengan menghitung
banyak suku pada bilangan satuan, puluhan, dan ratusan sebagai berikut:
Langkah 1. Mencari banyak suku pada barisan bilangan satuan (1 sampai 9):
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Banyak suku pada barisan bilangan satuan adalah 1 × 9 = 9 suku.
Langkah 2. Mencari banyak suku pada barisan bilangan puluhan (10 sampai 99)
10, 11, 12, 13, ...,19 terdapat 2 × 10 suku = 20 suku
20, 21, 22, 23, ...,29 terdapat 2 × 10 suku = 20 suku
...
90, 91, 92, 93, ..., 99 terdapat 2 × 10 suku = 20 suku
Banyak suku pada barisan bilangan puluhan adalah 9 × 20 = 180 suku.
Jadi, banyak suku pada barisan 1 sampai 99 adalah 9 + 180 = 189 suku.
Langkah 3. Mencari banyak suku pada barisan bilangan ratusan (100 sampai 999)
Jika ratusan (100 sampai 99)
100, 101, 102, 103, ..., 109 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku
110, 111, 112, 113, ..., 119 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku
120, 121, 122, 123, ..., 129 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku
...
690, 691, 692, 693, ..., 699 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku
Banyak suku untuk barisan bilangan ratusan dengan ratusan 1 sampai 6
adalah 6 × 10 × 30 = 1800 suku
183 Matematika
Jadi terdapat sebanyak 9 + 180 + 1800 = 1989 suku pada barisan bilangan 1 sampai
dengan 699 sehingga suku ke-1989 adalah 9. Suku berikutnya (suku ke-1990) adalah
barisan bilangan dengan ratusan sebagai berikut.
9 7 0 0 7 0 1 7 0 2 7 0 3 7 0 4
1989 1990 1991 1992 1993
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
u u u u u u1994 u1995 u1996 u1997 u1998 u1999 u2000 u2001 u2002 u2003 u2004
Bilangan pada suku ke-2004 adalah 4.
Contoh 6.3
Tentukan pola barisan 1
2
1
6
1
12
1
20
1
30
1
42
1
9900
, , , , , , ... , . Tentukanlah banyak suku
pada barisan tersebut!
Penyelesaian
Jika un adalah suku ke-n dari sebuah barisan dengan n = 1, 2, 3,... maka barisan di atas
disajikan dalam tabel berikut.
Tabel 6.4 Pola Barisan
Suku ke Nilai Pola
u1 1
2
=
2 +
1 1
2 1 1
u2 1
6
1
6
1
22 2 =
+
u3 1
12
1
12
1
32 3 =
+
u4 1
20
1
20
1
42 4 =
+
u5 1
30
1
30
1
52 5 =
+
u6 1
42
1
42
1
62 6 =
+
... ... ...
un ?
? =
+
1
n2 n
184 Kelas X
Berdasarkan pola barisan u
n n n =
+
1
2 yang telah diperoleh pada tabel di bawah maka
un = 1
9900
atau
⇔ 1 1
n2 + n 9900
=
⇔ n2 + n = 9900
⇔ n2 + n – 9900 = 0
⇔ (n – 99)(n + 100) = 0
⇔ n1 = 99 atau n2 = –100
Barisan 1
2
1
6
1
12
1
20
1
30
1
42
1
9900
, , , , , , ... , terdiri dari 99 suku.
• Diskusikan dengan temanmu kenapa yang digunakan n = 99?
Jika sn adalah jumlah n suku pertama dari sebuah barisan dengan n = 1, 2, 3, ... maka
deret dari barisan di atas disajikan dalam tabel berikut.
Tabel 6.5: Pola Deret
Deret Jumlah suku-suku Nilai
s1 u1 1
2
s2 u1 + u2 2
3
s3 u1 + u2 + u3 3
4
s4 u1 + u2 + u3 + u4 4
5
s5 u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 5
6
s6 u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 6
7
... ... ...
sn u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 + ... + un s n
n n =
+1
185 Matematika
Berdasarkan tabel di atas, s1, s2, s3, ..., sn, ..., yaitu 1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
99
100
, , , , , ... , ,... adalah
sebuah barisan dengan pola s n
n n =
+1
.
Karena n = 99 maka s99
1
2
1
6
1
12
1
20
1
30
1
42
1
9900
99
100
= + + + + + + ...+ = .
Jika sn adalah jumlah n suku pertama dari sebuah barisan dengan n = 1, 2, 3, ... atau
sn = u1 + u2 + u3 + ... + un–1 + un dan sn–1 = u1 + u2 + u3 + ... + un–1 maka sn = sn–1 + un
atau un = sn – sn–1.
Contoh 6.4
Suatu barisan dengan pola deret sn = 2n3 – 3n2. Tentukan pola barisan tersebut
kemudian tentukanlah suku ke-10!
Penyelesaian
Dengan rumus un = sn – sn–1 maka dapat ditentukan sn = 2n3 – 3n2 maka
s n n
s n n n n n
s n
n
n
n
−
−
−
= − − −
= − + − − − +
=
1
3 2
1
3 2 2
1
3
2 1 3 1
2 6 6 2 3 6 3
2
( ) ( )
( )( )
− 9n2 +12n − 5
Jadi,
u s s n n n n n
u n n
n n n
n
= − = − − − + −
= − +
−1
3 2 3 2
2
2 3 2 9 12 5
6 12 5
( )( )
Pola barisan tersebut adalah u n n n= 6 2 −12 + 5 sehingga:
u10
= 6(10)2 −12(10) + 5 = 600 −120 + 5 = 485
Jadi, suku ke-10 pada barisan tersebut adalah 485.